京都大学 理系数学 2020年 第2問 解説

今回は、京都大学理系数学（2020年 第2問）の解説をしたいと思います。

問題

　$p$ を正の整数とする．$\alpha ,\beta$ は $x$ に関する方程式 $x^2-2px-1=0$ の $2$ つの解で，$|\alpha |>1$ であるとする．

⑴　すべての正の整数 $n$ に対し，${\alpha }^n+{\beta }^n$ は整数であり，さらに偶数であることを証明せよ．

⑵　極限 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\alpha {)}^n\sin ({\alpha }^n\pi )}$ を求めよ．

（京都大学）

解答

⑴

解と係数の関係より
$$\{\begin{array}{rlrl}\alpha +\beta & =2p& & \cdots \text{①}\\ \alpha \beta & =-1& & \cdots \text{②}\end{array}$$が成り立つ。

題意が成り立つことを数学的帰納法により示す。

(ⅰ)　$n=1$ のとき
①と $p$ が整数であることから成り立つ。

(ⅱ)　$n=2$ のとき
$$\begin{array}{rl}{\alpha }^2+{\beta }^2& =(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta \\ & =(2p{)}^2-2\cdot (-1)\\ & =2(2p^2+1)\end{array}$$となり、$2p^2+1$ は整数なので成り立つ。

(ⅲ)　$n=k,k+1$（$k=1,2,3,\cdots$）のとき題意が成り立つ、すなわち整数 $\ell ,m$ を用いて
$${\alpha }^k+{\beta }^k=2\ell ,{\alpha }^{k+1}+{\beta }^{k+1}=2m$$と表せると仮定すると
$$\begin{array}{rl}{\alpha }^{k+2}+{\beta }^{k+2}& =({\alpha }^{k+1}+{\beta }^{k+1})(\alpha +\beta )-\alpha \beta ({\alpha }^k+{\beta }^k)\\ & =2m\cdot 2p-(-1)\cdot 2\ell \\ & =2(mp+\ell )\end{array}$$となり、$mp+\ell$ は整数なので成り立つ。

(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)より、すべての正の整数 $n$ に対して題意が成り立つことが示された。$$\begin{array}{}\text{(証明終)}& \end{array}$$

⑵

②より $\beta \ne 0$ なので $-\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\beta }}\cdots \text{③}$ である。

したがって
$$\begin{array}{rl}(-\alpha {)}^n\sin ({\alpha }^n\pi )& ={\left({\displaystyle \frac{1}{\beta }}\right)}^n\sin \{({\alpha }^n+{\beta }^n)\pi -{\beta }^n\pi \}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{{\beta }^n}}\sin (-{\beta }^n\pi )\\ & \phantom{=}\text{（}\because \text{⑴より}{\alpha }^n+{\beta }^n\text{は偶数）}\\ & ={\displaystyle \frac{-\pi \sin ({\beta }^n\pi )}{{\beta }^n\pi }}\end{array}$$

ここで、③より
$$1<|\alpha |=|-\alpha |=\left|{\displaystyle \frac{1}{\beta }}\right|={\displaystyle \frac{1}{|\beta |}}$$であるから $|\beta |<1$ である。

よって
$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\beta }^n\pi =0}$$であるから
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\alpha {)}^n\sin ({\alpha }^n\pi )}& ={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{-\pi \sin ({\beta }^n\pi )}{{\beta }^n\pi }}}\\ & =\mathbf{-}\mathit{\pi }\end{array}$$

解説

⑴は、数学的帰納法を使う基本問題です。

⑵は、絶対値が $1$ よりも大きい $\alpha$ のままで考えてもなかなかうまくいきません。
特に、$\sin$ の極限から ${\displaystyle \frac{\sin ({\alpha }^n\pi )}{{\alpha }^n\pi }}$ としてみても、${\alpha }^n\pi$ が $0$ に収束しないので意味がありません。

そこで、$\beta$ を使うことを考えると、⑴で示した ${\alpha }^n+{\beta }^n$ が「偶数」であることを使って上手くいくことが分かります。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2020年 第2問）の解説をしました。