神戸大学 理系数学 2021年[後期] 第1問 解説

今回は、神戸大学理系数学（2021年後期 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

整数を係数とする整式 $f(x)$ に関する条件「すべての整数 $n$ について $f(n)$ は $5$ の倍数となる」を $P$ とする．以下の問に答えよ．

⑴　$f(x)=x^5-5x^3+4x$ とする．$f(x)$ を因数分解せよ．また $f(x)$ は条件 $P$ をみたすことを示せ．

⑵　$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$（ $a,b,c,d$ は整数）とする．整式 $g_1(x), \ g_2(x), \ g_3(x), \ g_4(x)$ を
$$\begin{array}{l}
g_1(x)=f(x+1)-f(x),\\
g_{i+1}(x)=g_i(x+1)-g_i(x) \quad (i=1,2,3)
\end{array}$$により定める．$g_1(x), \ g_2(x), \ g_3(x), \ g_4(x)$ を求めよ．

⑶　整数を係数とする $4$ 次式 $f(x)$ で $x^4$ の係数が $1$ であるものは条件 $P$ をみたさないことを示せ．

（神戸大学）

解答

⑴

$$\begin{eqnarray}
f(x) &=& x^5-5x^3+4x \\
&=& x\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right) \\
&=& \boldsymbol{x(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)}
\end{eqnarray}$$

整数 $n$ について $n-2, \ n-1, \ n, \ n+1, \ n+2$ は連続する $5$ つの整数なので、これらのうち $1$ つだけが必ず $5$ の倍数となる。

したがって、これらの積である $f(n)$ も $5$ の倍数となり、$f(x)$ は条件 $P$ をみたす。$$\tag{証明終}$$

⑵

$$\begin{eqnarray}
g_1(x) &=& (x+1)^4+a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d \\
&&-(x^4+ax^3+bx^2+cx+d) \\
&=& \boldsymbol{4x^3+(3a+6)x^2+(3a+2b+4)x+a+b+c+1} \\[1em]
g_2(x) &=& 4(x+1)^3+(3a+6)(x+1)^2+(3a+2b+4)(x+1)+a+b+c+1 \\
&&-\left\{4x^3+(3a+6)x^2+(3a+2b+4)x+a+b+c+1\right\} \\
&=& \boldsymbol{12x^2+(6a+24)x+6a+2b+14} \\[1em]
g_3(x) &=& 12(x+1)^2+(6a+24)(x+1)+6a+2b+14 \\
&&-\left\{12x^2+(6a+24)x+6a+2b+14\right\} \\
&=& \boldsymbol{24x+6a+36} \\[1em]
g_4(x) &=& 24(x+1)+6a+36-(24x+6a+36) \\
&=& \boldsymbol{24}
\end{eqnarray}$$

⑶

条件より、⑵と同様に $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$（ $a,b,c,d$ は整数）とおけ、これが条件 $P$ をみたすと仮定すると、すべての整数 $n$ について $f(n+1), \ f(n)$ は $5$ の倍数なので、$g_1(n)$（$=f(n+1)-f(n)$）も $5$ の倍数となる。

よって、$g_1(x)$ は条件 $P$ をみたす。$\cdots\text{①}$

ここで、$g_i(x)$（ $i=1,2,3,4$ ）が条件 $P$ をみたすことを数学的帰納法により示す。

(ⅰ)　$i=1$ のとき
①より成り立つ。

(ⅱ)　$i=k$（ $k=1,2,3$ ）のとき $g_k(x)$ が条件 $P$ をみたすと仮定する。このとき、すべての整数 $n$ について $g_k(n+1), \ g_k(n)$ は $5$ の倍数なので、$g_{k+1}(n)$（$=g_k(n+1)-g_k(n)$）も $5$ の倍数となる。よって、$g_{k+1}(x)$ は条件 $P$ をみたし、$i=k+1$ のときも成り立つ。

(ⅰ),(ⅱ)より、$g_i(x)$（ $i=1,2,3,4$ ）が条件 $P$ をみたすことが示された。

以上から $g_4(x)$ は条件 $P$ をみたすことがわかるが、⑵より $g_4(x)=24$ は $5$ の倍数ではないから条件 $P$ をみたさず、矛盾する。

したがって、$f(x)$ は条件 $P$ をみたさない。$$\tag{証明終}$$

解説

⑴は連続 $n$ 整数の積が $n$ の倍数になることが分かれば一発です。

⑵は⑶のヒントになっており、⑵で最高次の係数が $0$ となるように差をとっていくと $24$ という $5$ の倍数でない定数に帰着するので、そこから⑶の背理法を考えることができれば、そこまで難しくはないと思います。

⑶では、「 $f(x)$ が条件 $P$ をみたすと仮定すると $g_4(x)$ も条件 $P$ をみたす…⊛」から矛盾する、という背理法を使いましたが、⊛を説明することは、解答のように数学的帰納法を使わなくても、直接示すこともでき、以下に示します：

まとめ

今回は、神戸大学理系数学（2021年後期 第1問）の解説をしました。