【“頭脳王”計算問題に挑戦⑥】地球に落ちる月

今回は、頭脳王で出題された計算問題にチャレンジしてみます。

問題

月の公転が止まった時、月は地球に時速何kmで落ちてくる？
ただし、条件は以下のとおりとする。

ヒント

1. 重力（万有引力）による位置エネルギーは、万有引力定数 $G$ 、2物体の質量 $M,m$ 、2物体の中心間距離 $r$ を用いて $-G \dfrac{Mm}{r}$ と表されます。
2. 問題は時速を問われているので、秒速を答えないように注意しましょう。

解答

地球と月の質量をそれぞれ $M,m$ とする。

万有引力定数を $G$ とすると
$$\begin{eqnarray}
G &=& 6.67 \times 10^{-11} \ [\mathrm{m}^3/ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^2] \\
&=& 6.67 \times 10^{-20} \ [\mathrm{km}^3/ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^2]
\end{eqnarray}$$

「月が落ち始める瞬間」と「地球と月が接触する瞬間」それぞれにおける地球と月の中心間距離をそれぞれ $r_1,r_2$ とすると
$$\begin{eqnarray}
r_2 &=& 1.73 \times 10^3 + 6.36 \times 10^3 \\
&\fallingdotseq& 8 \times 10^3 \ [\mathrm{km}]
\end{eqnarray}$$

求める速さを $v$ とすると、力学的エネルギー保存則より
$$\underbrace{-G \dfrac{Mm}{r_1}}_{\text{月が落ち始める瞬間}} = \underbrace{\dfrac{1}{2}mv^2-G \dfrac{Mm}{r_2}}_{\text{地球と月が接触する瞬間}}$$$$\begin{eqnarray}v^2 &=& 2GM\left( \dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1} \right) \\
&=& 2GM\dfrac{r_1-r_2}{r_1r_2} \\
&=& 2 \times 6.67 \times 10^{-20} \times 5.97 \times 10^{24} \times \dfrac{3.84 \times 10^5 \ – \ 8 \times 10^3}{3.84 \times 10^5 \times 8 \times 10^3} \\
&\fallingdotseq& 2 \times 40 \times 10^4 \times \dfrac{3.76 \times 10^5}{3.84 \times 8 \times 10^8} \\
&=& \dfrac{376}{3.84} \fallingdotseq 97.9 \\[0.5em]
v &=& \sqrt{97.9} \fallingdotseq 9.9 \ [\mathrm{km/s}] \\
&=& 9.9 \times 3600 \ [\mathrm{km/h}] = 35640 \ [\mathrm{km/h}] \\
&=& \mathbf{3.6 \times 10^4 \ [km/h]}
\end{eqnarray}$$

まとめ

今回は、「頭脳王」で出題された、月の落下速度を求める計算問題にチャレンジしてみました。

結論は時速3万6000km、、月の公転が止まるというあり得ない状況ですが、このような面白い状況を仮定して値を求められるのも物理の醍醐味ですね。

ちなみに、途中式で $m$ が約分されて消えているので、求めた速さ $v$ は月（落下する物体）の質量に依らないことが分かります。

つまり、同じところから同じ距離だけ落下した物体の速さは必ず時速3万6000kmになるということですね。