一橋大学 数学 2021年[後期] 第5問 解説

今回は、一橋大学数学（2021年後期 第5問）の解説をしたいと思います。

問題

　次の [Ⅰ]，[Ⅱ] のいずれか一方を選択して解答せよ。

[Ⅰ]　$x,y$ は実数とする。$y>x^n$ を満たす正の整数 $n$ が存在する点 $(x,y)$ 全体の集合を，$xy$ 平面上に図示せよ。

[Ⅱ]　$f(x)$ は微分可能かつ導関数が連続な関数とする。$f(0)=0$ であるとき
$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left({\displaystyle {\int }_0^x{e}^{-t}f(x-t)dt}\right)={\displaystyle {\int }_0^x{e}^{-t}{f}^{\prime }(x-t)dt}$$を示せ。

（一橋大学）

解答

[Ⅰ]

(ⅰ)　$x<-1$ のとき

・$y\geqq -1$ のとき、$n=1$ とすれば成り立つ。

・$y<-1$ のとき、$x^{\prime }=-x$，$y^{\prime }=-y$ とすると $x^{\prime }>1$，$y^{\prime }>1$ であり、$n$ を奇数とすると
$$\begin{array}{rlrl}& & y& >x^n\\ ⟺& & -y^{\prime }& >(-x^{\prime }{)}^n=-{x^{\prime }}^n\\ ⟺& & y^{\prime }& <{x^{\prime }}^n\\ ⟺& & {\log }_{x^{\prime }}{y}^{\prime }& <n\cdots \text{①}\end{array}$$となり、$n$ を十分大きくすれば①が成り立つ。

よって、任意の $y$ に対して与式を満たす $n$ が存在する。

(ⅱ)　$-1\leqq x\leqq 0$ のとき

$x^n\geqq x$ より、$y\leqq x$ のときは与式を満たす $n$ は存在せず、$y>x$ のときは $n=1$ とすれば与式が成り立つ。

(ⅲ)　$0<x<1$ のとき

$$y>x^n⟺{\log }_{x}y<n\cdots \text{②}$$となり、$n$ を十分大きくすれば②が成り立つ。

よって、任意の $y$ に対して与式を満たす $n$ が存在する。

(ⅳ)　$1<x$ のとき

$x^n\geqq x$ より、$y\leqq x$ のときは与式を満たす $n$ は存在せず、$y>x$ のときは $n=1$ とすれば与式が成り立つ。

(ⅰ)～(ⅳ)より、求める集合を図示すると、下図の網掛け部分のようになる。ただし、境界は含まない。

[Ⅱ]

部分積分により
$$\begin{array}{rl}& \phantom{=}{\displaystyle {\int }_0^x{e}^{-t}f(x-t)dt}\\ & =[-e^{-t}f(x-t){]}_0^x-{\displaystyle {\int }_0^x\{-e^{-t}{f}^{\prime }(x-t)\cdot (x-t{)}^{\prime }\}dt}\\ & =f(x)-{\displaystyle {\int }_0^x{e}^{-t}{f}^{\prime }(x-t)dt\cdots \text{①}}\\ & \phantom{=}\text{（}\because f(0)=0\text{）}\end{array}$$

ここで、${\displaystyle {\int }_0^x{e}^{-t}{f}^{\prime }(x-t)dt}$ について
$$x-t=u$$とおくと
$$dt=-du\overline{)\begin{array}{cc}t& 0\to x\\ u& x\to 0\end{array}}$$より
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^x{e}^{-t}{f}^{\prime }(x-t)dt}& ={\displaystyle {\int }_x^0{e}^{u-x}{f}^{\prime }(u)(-du)}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^x{e}^{u-x}{f}^{\prime }(u)du}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^x{e}^{t-x}{f}^{\prime }(t)dt}\\ & =e^{-x}{\displaystyle {\int }_0^x{e}^t{f}^{\prime }(t)dt\cdots \text{②}}\end{array}$$となるので、①より
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^x{e}^{-t}f(x-t)dt}& =f(x)-e^{-x}{\displaystyle {\int }_0^x{e}^t{f}^{\prime }(t)dt}\end{array}$$となる。

両辺を $x$ について微分すると
$$\begin{array}{rl}& \phantom{=}{\displaystyle \frac{d}{dx}}\left({\displaystyle {\int }_0^x{e}^{-t}f(x-t)dt}\right)\\ & =f^{\prime }(x)+e^{-x}{\displaystyle {\int }_0^x{e}^t{f}^{\prime }(t)dt-e^{-x}\cdot e^x{f}^{\prime }(x)}\\ & =e^{-x}{\displaystyle {\int }_0^x{e}^t{f}^{\prime }(t)dt}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^x{e}^{-t}{f}^{\prime }(x-t)dt\text{（}\because \text{②）}}\end{array}$$となるので、題意は示された。$$\begin{array}{}\text{(証明終)}& \end{array}$$

解説

[Ⅰ]

題意を正確に理解するところが最大のポイントです。

つまり、ある点 $(x_1,y_1)$ について、$y_1>{x_1}^n$ を満たす正の整数 $n$ が $1$ つでもあれば、点 $(x_1,y_1)$ は求める集合に含まれる、ということです。

平面を象限ごとに区切って場合分けする方法もありますが、与式の形から $x$ の値で場合分けした方がシンプルだと判断したため、本解答ではそのように場合分けしてあります。

特に $x$ や $y$ の符号が負になると混乱しやすいので、落ち着いて解きましょう。
もし文字式で判断できなければ、$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ など具体的な値を代入して判断しましょう。

[Ⅱ]

与式左辺の被微分関数をいきなり置換積分しようとすると、$f(0)=0$ の使いどころがなく、与式右辺に出てくる $f^{\prime }(x-t)$ も現れません。

そこで、置換積分ではなく部分積分をしてみると、$f(x-t)$ に $t=x$ を代入する際に $f(0)=0$ が使えますし、$f^{\prime }(x-t)$ も現れるようになります。

また、定積分の微分に関する公式
$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left({\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt}\right)=f(x)$$を使う際には、$f(t)$ の式の中に $x$ が入っていてはいけません。

そのため、置換積分をして被積分関数を $t$ だけの式にする必要があります。

置換積分や部分積分など、微分・積分に関する計算手法をマスターしていなければ解けない問題です。

まとめ

今回は、一橋大学数学（2021年後期 第5問）の解説をしました。