東京大学 理系数学 2022年 第1問 解説

今回は、東京大学理系数学（2022年 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

　次の関数 $f(x)$ を考える。
$$f(x)=(\cos x)\log(\cos x)-\cos x+\displaystyle\int_0^x(\cos t)\log(\cos t)dt\quad\left(0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}\right)$$

⑴　$f(x)$ は区間 $0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ において最小値を持つことを示せ。

⑵　$f(x)$ の区間 $0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ における最小値を求めよ。

（東京大学）

解答

⑴

$$\begin{eqnarray}
f'(x) &=& (-\sin x)\log(\cos x)+\cos x\cdot\dfrac{-\sin x}{\cos x}+\sin x+(\cos x)\log(\cos x) \\
&=& (\cos x-\sin x)\log(\cos x) \\
&=& \sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\log(\cos x)
\end{eqnarray}$$より、$0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。
$$\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline
x & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{4} & \cdots & \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \hline
f’(x) & & – & 0 & + & \\ \hline
f(x) & & \searrow & \text{最小} & \nearrow & \\ \hline
\end{array}$$

よって、$f(x)$ は $x=\dfrac{\pi}{4}$ で最小となるので、$0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ において最小値を持つ。$$\tag{証明終}$$

⑵

$$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos t)\log(\cos t)dt$$であり、
$$\begin{eqnarray}
&&\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos t)\log(\cos t)dt \\
&=& \Big[(\sin t)\log(\cos t)\Big]_0^{\frac{\pi}{4}}-\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin t\cdot\dfrac{-\sin t}{\cos t}dt \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1-\cos^2 t}{\cos t}dt \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\dfrac{1}{\cos t}-\cos t\right)dt \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\dfrac{\cos t}{1-\sin^2 t}-\cos t\right)dt \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left\{\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\cos t}{1+\sin t}+\dfrac{\cos t}{1-\sin t}\right)-\cos t\right\}dt \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\left[\dfrac{1}{2}\left\{ \log(1+\sin t)-\log(1-\sin t)\right\}-\sin t\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2}\log\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\log\big(\sqrt{2}+1\big)-\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray}$$

よって、求める最小値は
$$\begin{eqnarray}
f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &=& \sqrt{2}\log\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}+\log\big(\sqrt{2}+1\big) \\
&=& \boldsymbol{-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\log 2-\sqrt{2}+\log\big(\sqrt{2}+1\big)}
\end{eqnarray}$$

解説

⑴は部分点をあげるためのサービス問題です。

⑵はただただ計算ミスに気を付けて計算するだけです。
部分分数分解の $\dfrac{1}{2}$ や符号間違いなどに注意して、確実に答えを合わせましょう。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2022年 第1問）の解説をしました。