一橋大学 数学 2022年[後期] 第2問 解説

今回は、一橋大学数学（2022年後期 第2問）の解説をしたいと思います。

問題

　原点を $\mathrm{O}$ とする座標空間に $3$ 点 $\mathrm{A}(1,\,-1,\,1)$，$\mathrm{B}(1,\,2,\,4)$，$\mathrm{C}(-1,\,2,\,-1)$ がある。点 $\mathrm{A}$ を通り $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と平行な直線を $\ell$ とする。点 $\mathrm{Q}$ は $\ell$ 上の任意の点 $\mathrm{P}$ に対して $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=0$ を満たす。$\mathrm{OQ}$ が最小となるときの $\mathrm{Q}$ の座標を求めよ。

（一橋大学）

解答

$t$ を実数とすると
$$\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &= \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\,\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\
&= \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}t+1 \\ 2t-1 \\ 4t+1\end{pmatrix}
\end{align}$$

$a,\,b,\,c$ を実数として $\mathrm{Q}(a,\,b,\,c)$ とおくと、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=0$ より
$$\begin{align}
0 &= \begin{pmatrix}t+1 \\ 2t-1 \\ 4t+1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a+1 \\ b-2 \\ c+1\end{pmatrix} \\[0.2em]
&= (t+1)(a+1)+(2t-1)(b-2)+(4t+1)(c+1) \\[0.2em]
&= (a+2b+4c+1)t+a-b+c+4
\end{align}$$となり、これが任意の $t$ について成り立つので
$$\left\{\begin{align}
a+2b+4c+1 &= 0 \\
a-b+c+4 &= 0
\end{align}\right. \quad\cdots\text{①}$$となる。

①より、$a,\,b$ は $c$ を用いて
$$\left\{\begin{align}
a &= -2c-3 \\
b &= -c+1
\end{align}\right.$$と表せる。

このとき
$$\begin{align}
\mathrm{OQ}^2 &= a^2+b^2+c^2 \\[0.2em]
&= (-2c-3)^2+(-c+1)^2+c^2 \\[0.2em]
&= 6c^2+10c+10 \\
&= 6\left(c+\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{35}{6}
\end{align}$$$c$ は実数であり $\mathrm{OQ}\geqq0$ なので、$\mathrm{OQ}$ は $c=-\dfrac{5}{6}$ のとき最小となる。

このとき $a=-\dfrac{4}{3}$，$b=\dfrac{11}{6}$ なので、求める $\mathrm{Q}$ の座標は
$$\boldsymbol{\left(-\dfrac{4}{3},\,\dfrac{11}{6},\,-\dfrac{5}{6}\right)}$$

解説

$$(a+2b+4c+1)t+a-b+c+4=0$$を導くまでは基本的なベクトルの考え方・演算なので、できた人も多いのではないかと思います。

ですが、ここで手が止まった人も多いのではないでしょうか。

ポイントは、これが任意の $t$ について成り立つということは、$t$ についての恒等式だということに気づくことです。

ここを突破すれば、$3$ つの未知数に対して $2$ つの方程式が得られるので、$1$ つの文字（解答でいうと $c\,$）を使って他の $2$ 文字を表せばよいです。

まとめ

今回は、一橋大学数学（2022年後期 第2問）の解説をしました。