神戸大学 理系数学 2021年[後期] 第5問 解説

今回は、神戸大学理系数学（2021年後期 第5問）の解説をしたいと思います。

問題

関数$$f(x)=\displaystyle \int_{-1}^{x}\dfrac{dt}{t^2-t+1}+\displaystyle \int_{x}^{1}\dfrac{dt}{t^2+t+1}$$の最小値を求めよ．

（神戸大学）

解答

$$\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \dfrac{1}{x^2-x+1}-\dfrac{1}{x^2+x+1} \\
&=& \dfrac{(x^2+x+1)-(x^2-x+1)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)} \\
&=& \dfrac{2x}{\left\{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right\} \left\{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right\}}
\end{eqnarray}$$

よって、$f(x)$ の増減表は次のようになる。
$$\begin{array}{c|c|c|c} \hline
x & \cdots & 0 & \cdots \\
\hline
f’(x) & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \searrow & \text{最小} & \nearrow \\
\hline
\end{array}$$

したがって、求める最小値は
$$f(0)=\displaystyle \int_{-1}^{0}\dfrac{dt}{t^2-t+1}+\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{dt}{t^2+t+1}$$

ここで、$\displaystyle \int_{-1}^{0}\dfrac{dt}{t^2-t+1}$ について $t=-u$ とおくと
$$dt=-du \qquad
\begin{array}{c|c} \hline
t & -1 \to 0 \\
\hline
u & 1 \to 0 \\
\hline
\end{array}$$より
$$\begin{eqnarray}
\displaystyle \int_{-1}^{0}\dfrac{dt}{t^2-t+1} &=& \displaystyle \int_{1}^{0}\dfrac{-du}{u^2+u+1} \\
&=& \displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{du}{u^2+u+1}
\end{eqnarray}$$

よって
$$\begin{eqnarray}
f(0) &=& 2\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{dt}{t^2+t+1} \\
&=& 2\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{dt}{\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}
\end{eqnarray}$$

ここで、$t+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$ とおくと
$$dt=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{1}{\cos^2 \theta}d\theta \qquad
\begin{array}{c|c} \hline
x & 0 \to 1 \\
\hline
\theta & \dfrac{\pi}{6} \to \dfrac{\pi}{3} \\
\hline
\end{array}$$より
$$\begin{eqnarray}
f(0) &=& 2\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}\left(1+\tan^2\theta\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{1}{\cos^2 \theta}d\theta \\
&=& 2\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{2\sqrt{3}}{3}d\theta \\
&=& 2\cdot \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}\right) \\
&=& \boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\pi}
\end{eqnarray}$$

解説

微分・積分の基本事項が詰まった1問です。

計算量を減らす工夫や計算ミスに気を付けながら丁寧に計算していきましょう。

まとめ

今回は、神戸大学理系数学（2021年後期 第5問）の解説をしました。