東京大学 理系数学 2021年 第2問 解説

今回は、東京大学理系数学（2021年 第2問）の解説をしたいと思います。

問題

　複素数 $a,b,c$ に対して整式 $f(z)=az^2+bz+c$ を考える。$i$ を虚数単位とする。

⑴　$\alpha,\beta,\gamma$ を複素数とする。$f(0)=\alpha, \ f(1)=\beta, \ f(i)=\gamma$ が成り立つとき，$a,b,c$ をそれぞれ $\alpha,\beta,\gamma$ で表せ。

⑵　$f(0),f(1),f(i)$ がいずれも $1$ 以上 $2$ 以下の実数であるとき，$f(2)$ のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

（東京大学）

解答

⑴

$f(0)=\alpha, \ f(1)=\beta, \ f(i)=\gamma$ より
$$\left\{
\begin{eqnarray}
c &=& \alpha \\
a+b+c &=& \beta \\
-a+bi+c &=& \gamma
\end{eqnarray}
\right.$$

これを解くと
$$\left\{
\begin{eqnarray}
a &=& \boldsymbol{-i\alpha + \dfrac{1+i}{2}\beta + \dfrac{-1+i}{2}\gamma} \\
b &=& \boldsymbol{(-1+i)\alpha + \dfrac{1-i}{2}\beta + \dfrac{1-i}{2}\gamma} \\
c &=& \boldsymbol{\alpha} \\
\end{eqnarray}
\right.
$$

⑵

⑴より
$$\begin{eqnarray}
f(2) &=& 4a+2b+c \\
&=& 4\left( -i\alpha + \dfrac{1+i}{2}\beta + \dfrac{-1+i}{2}\gamma \right) \\
&&+2\left\{ (-1+i)\alpha + \dfrac{1-i}{2}\beta + \dfrac{1-i}{2}\gamma \right\} \\
&&+ \alpha \\
&=& (-1-2i)\alpha+(3+i)\beta+(-1+i)\gamma
\end{eqnarray}$$ただし、$\alpha,\beta,\gamma$ はいずれも $1$ 以上 $2$ 以下の実数である。

ここで
$$\begin{eqnarray}
z_1 &=& -1-2i, \\
z_2 &=& 3+i, \\
z_3 &=& -1+i
\end{eqnarray}$$とおくと
$$f(2) = \alpha z_1 +\beta z_2 +\gamma z_3$$となる。

$\alpha,\beta$ が $1$ 以上 $2$ 以下を動くとき、$\alpha z_1 +\beta z_2$ は下図の網掛け部分のように平行四辺形の周および内部を動く。この領域を $D$ とおく。

$D$ 内の任意の点に $\gamma z_3$ を足すと、$D$ は $\gamma z_3$ だけ平行移動する。$\gamma$ が$1$ から $2$ まで動くとき、$D$ は「 $D$ を $z_3$ だけ平行移動した位置」から「 $D$ を $2z_3$ だけ平行移動した位置」まで平行移動する。

この通過範囲は下図の網掛け部分のようになり、これが $f(2)$ のとりうる範囲となる。

よって、$f(2)$ のとりうる範囲は
$$\begin{array}{lll}
z_1+z_2+2z_3=i, & z_1+2z_2+2z_3=3+2i, & z_1+2z_2+z_3=4+i, \\
2z_1+2z_2+z_3=3-i, & 2z_1+z_2+z_3=-2i, & 2z_1+z_2+2z_3=-1-i
\end{array}$$の $6$ 点を頂点とする六角形の周および内部、すなわち下図の網掛け部分である。ただし、境界を含む。

解説

⑴は分母の有理化に注意すれば、難しいところはありません。

⑵は複素数平面の問題と言いつつ、ベクトルのように解く問題です。

記述の仕方に迷いますが、図があれば言いたいことは伝わりますので、計算ミスに注意しつつ、最低限の記述と図で答えだけは合わせましょう。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2021年 第2問）の解説をしました。