【高校生クイズ計算問題に挑戦①】太陽の表面温度

今回は、高校生クイズで出題された計算問題にチャレンジしてみます。

問題

シュテファン・ボルツマンの法則を用いて太陽の表面温度を正確に計算せよ。
ただし、条件は以下のとおりとする。

ヒント

1. $I$ は単位面積あたりの放出エネルギーであることに注意しましょう。
   球（太陽）の表面積は、半径 $r$ を用いて $4 \pi r^2$ と表されます。
2. $1 \ [\mathrm{W}] = 1 \ [\mathrm{J / s}]$ です。
3. 「摂氏温度」は「絶対温度」より273だけ小さい値となります。

解答

太陽が $1$ 秒間に放出する電磁波のエネルギーが $3.85 \times 10^{26} \ [ \mathrm{J} ]$ なので、これを太陽の表面積（ $4 \pi r^2$ ）で除すと、単位時間、単位面積あたりの放出エネルギー $I$ となる。

$$I = \frac{3.85 \times 10^{26}}{4 \pi \times ( 6.96 \times 10^8 )^2} \fallingdotseq 6.325 \times 10^7 \ [ \mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-2} ]$$

$I=\sigma T^4$ より $T = \sqrt[ 4 ]{ \dfrac{I}{\sigma} }$ なので、それぞれ値を代入して$$\begin{eqnarray}
T &=& \sqrt[ 4 ]{ \dfrac{6.325 \times 10^7}{5.67 \times 10^{-8}} } \fallingdotseq \sqrt[ 4 ]{ 1116 \times 10^{12} } \\ &=& 5.780 \times 10^3 = 5780 \ [ \mathrm{K} ]
\end{eqnarray}$$

「摂氏温度」＝「絶対温度」 $-273$ より、求める答えは
$$\begin{eqnarray}
5780-273 &=& 5507 \\
&=& \mathbf{ 5.51 \times 10^3 \ [ ^\circ C]}
\end{eqnarray}$$

まとめ

今回は、「高校生クイズ」で出題された、太陽の表面温度を求める計算問題にチャレンジしてみました。

結論は5510℃、、想像もつかないほど高温ですね。