【高校生クイズ計算問題に挑戦④】地球を覆う金箔の値段

今回は、高校生クイズで出題された計算問題にチャレンジしてみます。

問題

地球が0.0001mmの金ぱくで覆われていると何円になるか計算せよ。
ただし、条件は以下のとおりとする。

ヒント

1. 厳密には「地球と金箔を合わせた球」から「地球」をくり抜いた体積を考えなければなりませんが、今回の場合、地球の半径に比べて金箔の厚さがとても薄い（13桁オーダーが違う）ので、「地球の表面積」に「金箔の厚さ」をかけることで金箔の体積を求めて良いです。
2. 球（地球）の表面積は、半径 $r$ を用いて $4 \pi r^2$ と表されます。

解答

金箔の厚さは
$$0.0001 \ [\mathrm{mm}] = 10^{-7} \ [\mathrm{m}]$$

金の密度は
$$19.3 \ [\mathrm{g / cm^3}] = 19.3 \times 10^6 \ [\mathrm{g / m^3}]$$

地球の半径は
$$6400 \ [\mathrm{km}] = 6400 \times 10^3 \ [\mathrm{m}]$$

求める金箔の値段は

$$\begin{eqnarray}
&&\underbrace{ 4 \pi \times ( 6400 \times 10^3 )^2 }_{ \text{表面積} } \times \underbrace{10^{-7}}_{\text{厚さ}} \times \underbrace{ ( 19.3 \times 10^6 ) \times 4200 }_{ 1\mathrm{m}^3 \text{あたりの値段} } \\[0.5em]
&=&\mathbf{ 4.2 \times 10^{18} } \ [\mathbf{ \text{円} }]
\end{eqnarray}$$

まとめ

今回は、「高校生クイズ」で出題された、地球を覆う金箔の値段を求める計算問題にチャレンジしてみました。

結論は420京円、、世界中の国の国家予算を合わせても及ばない額です。