【高校生クイズ計算問題に挑戦③】マンモスの年代推定

今回は、高校生クイズで出題された計算問題にチャレンジしてみます。

問題

マンモスが生きていた年代を調査結果を元に推定しなさい。

ヒント

1. 半減期とは、その期間を経るごとに物質の量が半分となることを表します。
   例えば、半減期が1年である物質Aが100個あったとすると、1年後には50個に、その1年後には25個に…という風に減少していきます。
2. $a^x = M \ \Longleftrightarrow \ x = \log_{ a } M$ の変形を使ってみましょう。

解答

発見時から $x$ 年前にマンモスが死んだとすると
$$\begin{eqnarray}
1.200 \times 10^{-12} \times \left( \dfrac{1}{2} \right) ^{\frac{ \large{x} }{ \large{5730} }} &=& 1.320 \times 10^{-13} \\
\left( \dfrac{1}{2} \right) ^{\frac{ \large{x} }{ \large{5730} }} &=& 0.11 \\
\dfrac{x}{5730} &=& \log_{ \frac{1}{2} } 0.11 = 3.184 \\[0.8em]
x = 3.184 \times 5730 &=& 18244.32 \\
&=& \mathbf{ 1.82 \times 10^4 } \ [ \mathbf{ \text{年前} } ]
\end{eqnarray}$$

まとめ

今回は、「高校生クイズ」で出題された、マンモスの生存年代を推定する計算問題にチャレンジしてみました。

結論は18200年前、、日本でいえば縄文時代よりも前――旧石器時代のことらしいです。