【高校生クイズ計算問題に挑戦②】はやぶさの大気圏突入速度

今回は、高校生クイズで出題された計算問題にチャレンジしてみます。

問題

はやぶさが大気圏に突入した速度を計算せよ。
ただし、条件は以下のとおりとする。

ヒント

1. 保存力（万有引力など）のみがはたらく物体では、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。力学的エネルギーとは運動エネルギーと位置エネルギーの和です。
2. 万有引力による位置エネルギーは、万有引力定数 $G$ 、2物体の質量 $M,m$ 、2物体の中心間距離 $r$ を用いて $-G \dfrac{Mm}{r}$ と表されます。

解答

●イトカワにおいて

初速が $0$ なので、運動エネルギーは $0 \ [\mathrm{J}]$ 。

イトカワは無限遠にあるので、万有引力による位置エネルギーも $0 \ [\mathrm{J}]$ 。

●大気圏突入時

はやぶさの質量を $m \ [ \mathrm{kg} ]$ 、求める（大気圏突入時の）速度を $v \ [ \mathrm{m} / \mathrm{s} ]$ とすると、運動エネルギーは $\dfrac{1}{2} mv^2$ 。

万有引力による位置エネルギーは
$$-6.60 \times 10^{-11} \times \frac{6.00 \times 10^{24} \times m}{6400 \times 10^3} = -\frac{99}{16} \times 10^7 \times m \ [\mathrm{J}]$$

●$v$ を求める

はやぶさに作用する力は万有引力だけなので、その力学的エネルギーは保存される。

$$\begin{eqnarray}
0+0 &=& \dfrac{1}{2} mv^2 \ – \ \frac{99}{16} \times 10^7 \times m \\
\Longleftrightarrow \quad v &=& \sqrt{ 2 \times \frac{99}{16} \times 10^7 } \\
&=& \sqrt{ 2.2 \times \frac{9}{16} \times 10^8 } \\
&=& 1.48 \times \frac{3}{4} \times 10^4 = 11100 \ [\mathrm{m} / \mathrm{s}] \\
&=& \mathbf{ 11.1 } \ [\mathbf{km} / \mathbf{s}] \end{eqnarray}$$

まとめ

今回は、「高校生クイズ」で出題された、はやぶさの大気圏突入速度を求める計算問題にチャレンジしてみました。

結論は秒速11.1km、、めちゃくちゃ速いですね。