4・9がないホテルは全部で何部屋？

今回は、ホテルの部屋数に関するトリビアをご紹介したいと思います。

4と9がないホテル

みなさんはホテルに泊まったとき、あるいは病院に行ったとき、部屋番号やフロアを見て「4」や「9」が飛ばされてるな～と感じたことはありますか？

そんなとこ見たこともなかった！という人は、今度気にしてみてください。
すべての宿泊施設・病院がそうではないのですが、決して珍しいことではないのですぐ巡り合えると思います。

4・9を飛ばすのは、いわゆる“不吉な数字”だからですよね。
皆さんご存じだと思いますが。

そんな「4・9が飛ばされたホテル」の部屋数って、数えるの面倒臭そうじゃないですか？

例えば、ホテルの扉に順番に1,2,3,…,50と番号を振った場合、その部屋数は下表に示すとおり、32部屋だとわかります。

部屋番号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
部屋数	1	2	3	×	4	5	6	7	×	8	9	10	11	×	12	13	14	15	×	16	17	18	19	×	20	21	22	23	×	24	25	26	27	×	28	29	30	31	×	×	×	×	×	×	×	×	×	×	×	32

この「32」という部屋数、簡単に求められないでしょうか？

――ご安心を。こんな記事を書いているくらいですから、もちろん簡単な方法があります。

ではその方法について紹介していきますね！

部屋番号から部屋数を求める

では、先ほどよりも桁を増やして、このような問題を考えてみます。

この問題を解く上でのキーは、ずばり「8進法」です！

どういうことか、順に解説していきます。

8進法

8進法とは、0～7の数字を用いて数を表す方法で、そのように表した数を8進数と呼びます。
私たちが使う10進法の数と区別するために、8進数は123₍₈₎のように右下に(8)を付けて表します。

8進法の世界では、7₍₈₎の次は10₍₈₎になります。

「7の次は8では？」と思ったあなた、それは10進法の世界の話なのです。

10進法では、0～9の数字を用いて数を表します。9の次は、位が上がって10です。

これと同じことが8進法にも起こっているのです。次の画像をご覧ください。

10進法では、小さい方から「一の位」「十の位」「百の位」…と続きますよね。
実は8進法では、「1の位」の上は「8の位」となります。
そして、その上は「8²の位」「8³の位」…と続きます。

また、10進法における47302は、4×10⁴＋7×10³＋3×10²＋0×10¹＋2×10⁰というルールに従って表記されています。

ですので同様に、47302₍₈₎は、4×8⁴＋7×8³＋3×8²＋0×8¹＋2×8⁰ということになります。
そして上の式を計算すると20162となりますから、47302₍₈₎＝20162₍₁₀₎であると分かります。

ここで、ホテルの問題に戻ります。

「4・9を飛ばす＝0,1,2,3,5,6,7,8の8種類しか使えないホテル」と「0,1,2,3,4,5,6,7の8種類しか使えない8進法の世界」、すごく似ていると思いませんか？

つまり、「4・9がないホテル」の部屋数は、8進法を使うことで求められるのです！

では具体的な方法について、解説します。

解法

ホテルの扉に付けられた数字の各桁は、4・9以外の8種類ですから、8進法のような規則に従って番号が振られていることが分かります。

「8進法のような」と言ったのは、厳密には「8進法ではない」からです。

それは（先ほども少し触れましたが）使われている数字が理由です。

• 普通の8進数 … 0,1,2,3,4,5,6,7 で表される
• ホテルの8進数 … 0,1,2,3,5,6,7,8 で表される

47302₍₈₎＝4×8⁴＋7×8³＋3×8²＋0×8¹＋2×8⁰のような計算が成り立つのは、「普通の8進数」を10進数に変換しているからです。

つまり、「4・9がないホテル」の部屋数を求めるには、以下の対応表にしたがって、ホテルの8進法→普通の8進法に数字を変換しなければなりません。

普通	0	1	2	3	4	5	6	7
ホテル	0	1	2	3	5	6	7	8

ここで、「ホテルの8進数」を123_(8′)のように右下に(8′)を付けて表すことにします。

問題に戻ると、最後の部屋番号「500」は、ホテルの8進数「500_(8′)」であり、対応表から「普通の8進数」にすると「400₍₈₎」だと考えることができます。

400₍₈₎は、4×8³＋0×8²＋0×8¹＋0×8⁰＝256なので、答えは256部屋となります。

部屋番号（ホテルの8進数）と部屋数（10進数）の間に「普通の8進数」を挟まなければならないのが、この問題の難しいところです。

部屋数から部屋番号を求める

では今度は、逆の問題を考えてみましょう。

先ほどが「部屋番号→部屋数」であったのに対し、今回は「部屋数→部屋番号」と逆になっています。

ですが、考えることは先ほどと同じです。

解法

500＝7×8²＋6×8¹＋4×8⁰なので、500₍₁₀₎＝764₍₈₎です。

また、対応表から、764₍₈₎＝875₍₈₎と変換することができます。

よって、答えは875となります。

まとめ

今回は、「4・9がないホテル」の“部屋番号”と“部屋数”の関係を、8進法を使って表してみました。

「4・9が使えない」→「8進法」の発想も結構難しいですが、さらに「2種類の8進数」を対応づけなければならないところが複雑でしたね。