今回は、東京大学理系数学(2023年 第3問)の解説をしたいと思います。
問題
を実数とし,座標平面上の点 を中心とする半径 の円の周を とする。 ⑴
が,不等式 の表す領域に含まれるような の範囲を求めよ。 ⑵
(東京大学)は⑴で求めた範囲にあるとする。 のうち かつ を満たす部分を とする。 上の点 に対し,点 での の接線が放物線 によって切り取られてできる線分の長さを とする。 となる 上の相異なる 点 が存在するような の範囲を求めよ。
解答
⑴
が,不等式 の表す領域に含まれるような の範囲を求めよ。
①より
よって、求める
⑵
は⑴で求めた範囲にあるとする。 のうち かつ を満たす部分を とする。 上の点 に対し,点 での の接線が放物線 によって切り取られてできる線分の長さを とする。 となる 上の相異なる 点 が存在するような の範囲を求めよ。

放物線
このとき
(ⅰ)
(ⅱ)
(ⅰ),(ⅱ)より、求める
解説
円と放物線というよくあるテーマの問題ですが、放物線によって切り取られた線分の長さが関わるところは目新しいです。
線分の長さを関数で表す際、扱いやすいように変数変換しておくと計算ミスを減らすことができます。
その後は、
まとめ
今回は、東京大学理系数学(2023年 第3問)の解説をしました。
ほかの問題にもチャレンジしよう!
東京大学 理系数学 2023年 第1問 解説
東京大学 理系数学 2023年 第2問 解説
東京大学 理系数学 2023年 第3問 解説
東京大学 理系数学 2023年 第4問 解説
東京大学 理系数学 2023年 第5問 解説
東京大学 理系数学 2023年 第6問 解説