【高校生クイズ計算問題に挑戦⑧】宇宙エレベーターの移動時間

今回は、高校生クイズで出題された計算問題にチャレンジしてみます。

問題

宇宙エレベーターで静止衛星までの移動にかかる時間を計算しなさい。
ただし、条件は以下のとおりとする。

ヒント

1. 等加速度直線運動の公式を使いましょう。
   初速 $v_0$ で移動を開始した物体が、一定の加速度 $a$ で時間 $t$ ・距離 $x$だけ直線運動した結果、速度が $v$ になったとすると、以下の式が成り立ちます。
   ・$v=v_0+at$
   ・$x=v_{0}t+{\displaystyle \frac{1}{2}}a{t}^2$
2. $v-t$ 図を使う方法もあります。
   $v-t$ 図においてグラフで囲まれた面積は、移動距離を表します。

解答

解法1

等加速度直線運動の公式を用いる方法です。

エレベーターが静止した状態（初速 $0$ ）から $0.1[\mathrm{G}]$ で $100$ 秒間（$=t_1$ とする）加速した後の最高速度を $v[\mathrm{m}/\mathrm{s}]$ とすると
$$\begin{array}{rcl}v& =& \underset{v_0}{\underbrace{0}}+\underset{at}{\underbrace{(0.1\times 9.8)\times 100}}\\ & =& 98[\mathrm{m}/\mathrm{s}]\end{array}$$

また、加速中にエレベーターが移動する距離を $d_1[\mathrm{m}]$ とすると
$$\begin{array}{rcl}{d}_1& =& \underset{v_{0}t}{\underbrace{0\times 100}}+\underset{\frac{1}{2}a{t}^2}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{2}}\times (0.1\times 9.8)\times {100}^2}}\\ & =& 4900[\mathrm{m}]\end{array}$$

次に、エレベーターが減速している時間を $t_3[\mathrm{s}]$ とすると
$$\begin{array}{rcl}0& =& \underset{v_0}{\underbrace{98}}+\underset{at}{\underbrace{(-0.01\times 9.8)t_3}}\\ t_3& =& 1000[\mathrm{s}]\end{array}$$

また、減速中にエレベーターが移動する距離を $d_3[\mathrm{m}]$ とすると
$$\begin{array}{rcl}{d}_3& =& \underset{v_{0}t}{\underbrace{98\times 1000}}+\underset{\frac{1}{2}a{t}^2}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{2}}\times (-0.01\times 9.8)\times {1000}^2}}\\ & =& 49000[\mathrm{m}]\end{array}$$

よって、エレベーターが等速移動する距離を $d_2[\mathrm{m}]$ とすると$$\begin{array}{rcl}{d}_1+d_2+d_3& =& 36000\times {10}^3\\ d_2& =& 36000000–(d_1+d_3)\\ & =& 36000000–(4900+49000)\\ & =& 35946100[\mathrm{m}]\end{array}$$

したがって、エレベーターが等速移動している時間を $t_2[\mathrm{s}]$ とすると
$$\begin{array}{rcl}{t}_2& =& {\displaystyle \frac{d_2}{v}}={\displaystyle \frac{35946100}{98}}\\ & =& 366796.9\\ & =& 366797[\mathrm{s}]\end{array}$$

以上より、エレベーターが静止衛星まで移動するのにかかる時間は
$$\begin{array}{rcl}{t}_1+t_2+t_3& =& 100+366797+1000\\ & =& 367897[\mathrm{s}]\\ & =& \mathbf{102}\mathbf{[}\mathbf{h}\mathbf{]}\mathbf{11}\mathbf{[}\mathbf{m}\mathbf{]}\mathbf{37}\mathbf{[}\mathbf{s}\mathbf{]}\end{array}$$

解法2

$\mathit{v}\mathbf{-}\mathit{t}$ 図を用いる方法です。

縦軸を$v$（速度）、横軸を $t$（時間）とすると、グラフの概形は下図のようになります。

このグラフで囲まれる台形の面積は、エレベーターの移動距離 $36000[\mathrm{km}]$ を表すので、総移動時間を $T[\mathrm{s}]$ とすると
$$\begin{array}{rcl}\underset{\text{(上底+下底)}}{\underbrace{\{T-(t_1+t_3)+T\}}}\times \underset{\text{高さ}}{\underbrace{v}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}& =& 36000\times {10}^3\\ \{T-(100+1000)+T\}\times 98\times {\displaystyle \frac{1}{2}}& =& 36000000\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}T& =& 367896.9\\ & =& 367897[\mathrm{s}]\\ & =& \mathbf{102}\mathbf{[}\mathbf{h}\mathbf{]}\mathbf{11}\mathbf{[}\mathbf{m}\mathbf{]}\mathbf{37}\mathbf{[}\mathbf{s}\mathbf{]}\end{array}$$

まとめ

今回は、「高校生クイズ」で出題された、宇宙エレベーターの移動時間を求める計算問題にチャレンジしてみました。

結論は102時間11分37秒、、いつかはこんな乗り物が実現する日が来るのでしょうか。楽しみですね！