【“頭脳王”計算問題に挑戦③】地球の中心に飛び込むスーパーロボット

今回は、頭脳王で出題された計算問題にチャレンジしてみます。

問題

地球の中心まで掘った穴にスーパーロボットが飛び込んだ時、落ち始めてから10分後の速さは？
ただし、条件は以下のとおりとする。

ヒント

1. 合成関数の微分公式
   $$\{ f( g(x) ) \} ^\prime = f( g(x) ) g ^\prime (x) $$を使って、$x$ を $t$ で微分して $t$ 秒後の速さを求めましょう。
2. 条件に合うように、上手く $\mathrm{sin}(0.744)$ や $\sqrt{ 65 }$ をつくり出しましょう。
   ちなみに、9.8×65＝637が重要です。
3. 問題は時速を問われているので、秒速を答えないように注意しましょう。

解答

$t$ 秒後の物体の速さを $v(t)$ とすると
$$\begin{eqnarray}
v(t) &=& \left| \dfrac{dx}{dt} \right| = \left| \dfrac{d}{dt} \left\{ R \ \mathrm{cos} \left( \sqrt{ \dfrac{g}{R} } t \right) \right\} \right| \\
&=& \left| -R \ \mathrm{sin} \left( \sqrt{ \dfrac{g}{R} } t \right) \cdot \sqrt{ \dfrac{g}{R} } \right| \\
&=& R \sqrt{ \dfrac{g}{R} } \left| \mathrm{sin} \left( \sqrt{ \dfrac{g}{R} } t \right) \right| \tag{1}
\end{eqnarray}$$

ここで、$\sqrt{ \dfrac{g}{R} }$ に対して $g = 9.8 \ [\mathrm{m/s^2}]$ 、$R = 6370 \times 10^3 \ [\mathrm{m}]$ を代入すると
$$\begin{eqnarray}
\sqrt{ \dfrac{g}{R} } &=& \sqrt{ \dfrac{9.8}{6370 \times 10^3} } \\
&=& \dfrac{1}{ \sqrt{ \dfrac{637 \times 10^4}{9.8} } } = \dfrac{1}{ \sqrt{ 65 \times 10^4 } } \\
&=& \dfrac{1}{ 8.06 \times 10^2 } = \dfrac{1}{806} \ [\mathrm{s}^{-1}]
\end{eqnarray}$$

よって、式(1)で $R = 6370 \times 10^3 \ [\mathrm{m}]$ 、$\sqrt{ \dfrac{g}{R} } = \dfrac{1}{806} \ [\mathrm{s}^{-1}]$ 、$t = 10 \times 60 = 600 \ [\mathrm{s}]$ を代入すると
$$\begin{eqnarray}
v(600) &=& 6370 \times 10^3 \times \dfrac{1}{806} \times \left| \mathrm{sin} \left( \dfrac{1}{806} \times 600 \right) \right| \\
&=& 6370 \times 10^3 \times \dfrac{1}{806} \times | \mathrm{sin} (0.744) | \\
&=& 6370 \times 10^3 \times \dfrac{1}{806} \times 0.677 \\
&=& 5350 \ [\mathrm{m/s}] \\
&=& 5350 \times 3.6 \ [\mathrm{km/h}] = 19260 \ [\mathrm{km/h}] \\
&=& \mathbf{1.93 \times 10^4 \ [km/h]}
\end{eqnarray}$$

まとめ

今回は、「頭脳王」で出題された、地球の中心に飛び込むスーパーロボットの速さを求める計算問題にチャレンジしてみました。

結論は時速1万9300km、、とてつもない速さですね。
この速さのまま移動できる乗り物があれば、東京－大阪間（約500km）を約1分33秒で移動できちゃいます。