【高校生クイズ計算問題に挑戦⑤】スカイツリーに届くボールの速度

今回は、高校生クイズで出題された計算問題にチャレンジしてみます。

問題

ボールが東京スカイツリーの頂上に届くにはダルビッシュは時速何kmで投げれば良い？
ただし、条件は以下のとおりとする。

ヒント

1. 等加速度直線運動の公式、もしくは力学的エネルギー保存則を使いましょう。
2. 問題は時速で聞かれているので、秒速としないように注意しましょう。

解答

解法1

等加速度直線運動の公式を用いる方法です。

初速 $v_0$ の物体が常に加速度 $a$ で運動し、距離 $x$ だけ進んだ結果、速度が $v$ になったとき
$$v^2 \ – \ v_0^2 = 2ax$$
という関係が成り立つので、この式に $v=0 \ [\mathrm{m / s}]$ 、 $a=-9.8 \ [\mathrm{m / s^2}]$ 、$x=634 \ [\mathrm{m}]$ を代入すると
$$\begin{eqnarray}
0^2 \ – \ v_0^2 &=& 2 \times ( -9.8 ) \times 634 \\[0.5em]
v_0 &=& \sqrt{ 2 \times 9.8 \times 634 } \\
&=& \sqrt{ 2 \times 2 \times 49 \times 63.4 } \\
&=& 2 \times 7 \times 7.96 = 111.44 \ [\mathrm{m / s}] \\
&=& 111.44 \times 3.6 \ [\mathrm{km / h}] \\
&=& 401.184 \ [\mathrm{km / h}] = \mathbf{401} \ [\mathbf{km / h}]
\end{eqnarray}$$

解法2

力学的エネルギー保存則を用いる方法です。

ボールの質量を $m$ 、重力加速度を $g$ 、スカイツリーの高さを $h$ とすると、力学的エネルギー保存則より
$$\dfrac{1}{2} mv_0^2 + mgh_0 = \dfrac{1}{2} mv^2 + mgh$$
が成り立つ。

これに $h_0 = 0 \ [\mathrm{m}]$ 、$v =0 \ [\mathrm{m / s}]$ を代入すると
$$\begin{eqnarray}
\dfrac{1}{2} mv_0^2 + 0 &=& 0 + mgh \\
v_0 &=& \sqrt{ 2gh }
\end{eqnarray}$$

あとは $g = 9.8 \ [\mathrm{m / s^2}]$ 、$h = 634 \ [\mathrm{m}]$ を代入して、「解法1」と同様に計算すればよい。

まとめ

今回は、「高校生クイズ」で出題された、東京スカイツリーの頂上に届くボールの速度を求める計算問題にチャレンジしてみました。

結論は時速401km、、とてつもない速さですね。
ちなみにこの速さは、逆にスカイツリーの頂上から初速0で物体を落としたときの、地面に落ちる直前の速さと等しいです。