【“頭脳王”計算問題に挑戦④】エース vs. スラッガー

今回は、頭脳王で出題された計算問題にチャレンジしてみます。

問題

球速が倍のピッチャーとスイングスピードが倍のバッターが対決。
ホームランを打った時、ボールは何メートル飛ぶ？
ただし、条件は以下のとおりとする。

ヒント

1. 物体同士の衝突には、運動量保存則を用いましょう。
   運動量とは物体の「質量×速度」の値（符号を含む）であり、運動量保存則とは、同一直線上で衝突する物体系の運動量の総和が、衝突前後で変わらないという法則です。
2. 打ち上げ角度が仰角45度なので、衝突直後のボールの速度を水平・鉛直方向に分解すると、2つの速さは同じになります。
3. 斜方投射された物体の水平方向の速度は常に一定です。
   また、発射点と着地点が同じ高さの場合、鉛直方向に関しては、発射速度と着地速度は同じ大きさで逆向きです。

解答

衝突前のバットとボールの速さは
$$330 \ [\mathrm{km/h}] \ = \dfrac{330}{3.6} \ [\mathrm{m/s}]$$

バットとボールの質量をそれぞれ $6.5m \ [\mathrm{kg}], \ m \ [\mathrm{kg}]$ とする。

バットとボールは水平に衝突し、バットの下方向への軌道変化を考慮しないことから、水平方向に関して運動量保存則を用いる。

バットの移動方向を正とし、衝突後のボールの速度を $v \ [\mathrm{m/s}]$ とすると

$$\underbrace{ \overbrace{ 6.5m \times \dfrac{330}{3.6} }^{ \text{バット} } \ – \ \overbrace{ m \times \dfrac{330}{3.6} }^{ \text{ボール} } }_{ \text{衝突} \mathbf{前} \text{の運動量の和} } = \underbrace{ \overbrace{ 6.5m \times \dfrac{330}{3.6} \times 0.72 }^{ \text{バット} } + \overbrace{ m \times v }^{ \text{ボール} } }_{ \text{衝突} \mathbf{後} \text{の運動量の和} } $$

$$\begin{eqnarray}
v &=& \dfrac{330}{3.6} \times (6.5 \ – \ 1 \ – \ 6.5 \times 0.72) \\
&=& \dfrac{330}{3.6} \times 0.82 = 75.17 \ [\mathrm{m/s}]
\end{eqnarray}$$

衝突後のボールは地面から仰角45度で打ち上げられることから、鉛直方向上向きにも同じ速さ $v$ で移動し始める。

ボールが空中を飛んでいるとき、水平方向に関しては一定の速さ $v$ で移動し続け、鉛直方向に関しては下向きに一定の重力加速度を受けながら移動する。

ボールが地面に落ちる直前、鉛直方向に関しては下向きに速さ $v$ で移動する。
よって、重力加速度を $g \ [\mathrm{m/s^2}]$ 、ボールが飛んでいる時間を $t \ [\mathrm{s}]$ （上向きを正）とすると、
$$\begin{eqnarray}
– \ v &=& v \ – \ gt \\[0.5em]
t &=& \dfrac{2v}{g} = \dfrac{2 \times 75.17}{9.8} \\
&=& 15.34 \ [\mathrm{s}]
\end{eqnarray}$$

したがって、求める飛距離を $x \ [\mathrm{m}]$ とすると
$$\begin{eqnarray}
x &=& vt \\
&=& 75.17 \times 15.34 = 1153.1 \\
&=& \mathbf{1153 \ [m]}
\end{eqnarray}$$

まとめ

今回は、「頭脳王」で出題された、ホームランの飛距離を求める計算問題にチャレンジしてみました。

結論は1153m、、この2人の試合はドーム球場でしないと危なそうですね。
場外ホームランにも程があります(笑)