【高校生クイズ計算問題に挑戦⑥】太陽の余命

今回は、高校生クイズで出題された計算問題にチャレンジしてみます。

問題

アインシュタインの公式 $E = mc^2$ を用いて、太陽はあと何年で燃え尽きるか計算しなさい。
ただし、条件は以下のとおりとする。

ヒント

1. アインシュタインの公式は、質量とエネルギーが等価であることを表しています。つまり、エネルギーを放出した分だけ質量が減り、その関係を表すのが $E = mc^2$ というわけです。
2. 公式中の $c$ は光速を表し、その値は秒速30万kmです。
3. 「あと何年で燃え尽きるか」を問われていることに注意しましょう。

解答

エネルギーに変換される水素の質量は、太陽の質量の $10\%$ のさらに $0.7\%$ なので
$$2 \times 10^{30} \times 0.1 \times 0.007 = 1.4 \times 10^{27} \ [\mathrm{kg}]$$

光速は秒速 $30$ 万 $\mathrm{km}$ 、すなわち $3 \times 10^8 \ [\mathrm{m/s}]$ なので、太陽が放出する全エネルギーはアインシュタインの公式を用いて
$$1.4 \times 10^{27} \times ( 3 \times 10^8 )^2 = 1.26 \times 10^{44} \ [\mathrm{J}]$$

太陽は $1$ 秒間に $4 \times 10^{26} \ [\mathrm{J}]$ のエネルギーを放出するので、太陽が誕生してから燃え尽きるまでの時間は
$$\dfrac{1.26 \times 10^{44}}{4 \times 10^{26}} = 3.15 \times 10^{17} \ [\mathrm{s}]$$

$1$ 年は $365 \times 24 \times 60 \times 60 = 3.15 \times 10^7 $ 秒なので、
$$\dfrac{3.15 \times 10^{17}}{3.15 \times 10^{7}} = 10^{10} \ [\text{年}]$$
より、太陽の寿命は $100$ 億年であるとわかる。

現在太陽が誕生してから $46$ 億年が経過しているため、「あと何年で燃え尽きるか」という問いに対する答えは
$$100-46 = \mathbf{54} \ [\mathbf{\text{億年}}]$$

まとめ

今回は、「高校生クイズ」で出題された、太陽の余命を求める計算問題にチャレンジしてみました。

結論は54億年、、太陽が燃え尽きるなんて想像もつきませんね。どんな感じなのでしょうか。