今回は、頭脳王で出題された計算問題にチャレンジしてみます。
問題
スーパーロボットが全米オープンのコートから5560km離れたウィンブルドンまでボールを届かせるには時速何kmのサーブが必要？
ただし、条件は以下のとおりとする。
- 地球を平面と考えてよい
またラケットは折れないものとする - サーブは地面から45°の角度で放つとする
- 重力加速度は9.8m/s2 または 1.27×105km/h2を用いる
- 斜方投射公式 $v = \sqrt{ \dfrac{gd}{\mathrm{sin}2 \theta } }$
（$v$ は初速度、$d$ は落下地点までの距離） - $\sqrt{ 695 } = 26.36$ 、$\sqrt{ 17653 } = 132.9$ を用いてよい
- 有効数字3桁で解答すること
ヒント
- 公式が示されているので、代入して計算するだけです。
単位も揃っているので、計算ミスに注意すれば大丈夫です。
解答
斜方投射公式 $v = \sqrt{ \dfrac{gd}{\mathrm{sin}2 \theta } }$ に $g = 1.27 \times 10^5 \ [\mathrm{km/h^2}]$ 、$d = 5560 \ [\mathrm{km}]$ 、$\theta = 45^{ \circ }$ を代入すると
$$\begin{eqnarray}
v &=& \sqrt{ \dfrac{1.27 \times 10^5 \times 5560}{\mathrm{sin} ( 2 \times 45^{ \circ } ) } } \\
&=& \sqrt{ \dfrac{70612 \times 10^4}{\mathrm{sin}90^{ \circ }} } \\
&=& \sqrt{ 4 \times 17653 } \times 10^2 \\
&=& 2 \times 132.9 \times 10^2 \\
&=& 26580 \ [\mathrm{km/h}] \\
&=& \mathbf{2.66 \times 10^4 \ [km/h]}
\end{eqnarray}$$
2.66×104km/h（時速2万6600km）
まとめ
今回は、「頭脳王」で出題された、スーパーテニスロボットが打ったサーブの飛距離を求める計算問題にチャレンジしてみました。
結論は時速2万6600km、、とてつもない速さですね。
今回の問題は、「求める $v$ 」と「条件中の $g, \ d$ 」の単位がすべて $[\mathrm{km}]$ と $[\mathrm{h}]$ で揃っていたため、単位変換をする必要がありませんでした（優しい）。
しかし、基本単位である $[\mathrm{m}]$ と $[\mathrm{s}]$ に変換してから計算しないと気が済まない人のために、そちらの計算方法もご紹介します。
斜方投射公式 $v = \sqrt{ \dfrac{gd}{\mathrm{sin}2 \theta } }$ に
$g = 9.8 \ [\mathrm{m/s^2}]$ 、$d = 5560 \ [\mathrm{km}] = 5560 \times 10^3 \ [\mathrm{m}]$ 、$\theta = 45^{ \circ }$ を代入すると
$$\begin{eqnarray}
v &=& \sqrt{ \dfrac{9.8 \times 5560 \times 10^3}{\mathrm{sin} ( 2 \times 45^{ \circ } ) } } \\
&=& \sqrt{ \dfrac{544880 \times 10^2}{\mathrm{sin}90^{ \circ }} } \\
&=& \sqrt{ 2^4 \times 7^2 \times 695 } \times 10 \\
&=& 2^2 \times 7 \times 26.36 \times 10 \\
&=& 7380.8 \ [\mathrm{m/s}] \\
&=& 7380.8 \times 3.6 \ [\mathrm{km/h}] \\
&=& 26570.88 \ [\mathrm{km/h}] \\
&=& \mathbf{2.66 \times 10^4 \ [km/h]}
\end{eqnarray}$$
「km、h」→「m、s」→「km、h」と遠回りしているのでやはり式が長いですね(笑)
条件に惑わされず効率よく計算すれば、その分計算ミスも減らせます！
- 「問われている単位」と「条件中の単位」が揃っていることに気づき、効率よく値を代入して計算する
